Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|lnx|，0＜x≤e\\ f（2e-x），e＜x＜2e\end{array}$设方程f（x）=2^-x+b（b∈R）的四个实根从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（　　）

• A． x₁+x₂=2
• B． e²＜x₃x₄＜（2e-1）²
• C． 0＜（2e-x₃）（2e-x₄）＜1
• D． 1＜x₁x₂＜e²

Answer 1

分析 方程f（x）=2^-x+b（b∈R）的根可化为函数y=f（x）-2^-x与y=b图象的交点的横坐标，作函数y=f（x）-2^-x的图象分析即可．

解答 解：方程f（x）=2^-x+b（b∈R）的根可化为
函数y=f（x）-2^-x与y=b图象的交点的横坐标，
作函数y=f（x）-2^-x的图象，
由图象可得，0＜x₁＜1＜x₂＜e＜x₃＜2e-1＜x₄＜2e，
故x₃•x₄＞e²；
易知|ln（2e-x₃）|＞|ln（2e-x₄）|，
即ln（2e-x₃）＞-ln（2e-x₄），
即ln（2e-x₃）+ln（2e-x₄）＞0，
即4e²-2e（x₃+x₄）+x₃•x₄＞1，
即2e（x₃+x₄）＜x₃•x₄+4e²-1，
∴x₃x₄＜（2e-1）²，∴${e^2}＜{x_3}{x_4}＜{（2e-1）^2}$，
故选：B

点评 本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用，同时考查了基本不等式的应用．