Question

若（1+3x）ⁿ的展开式中，二项式系数之和为a_n，各项系数之和为b_n，则

lim

n→+∞

an-bn

an+3bn

的值为

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由题意可得a_n=2ⁿ，b_n=4ⁿ，再根据则

lim

n→+∞

an-bn

an+3bn

=

lim

n→+∞

2n-4n

2n+3•4n

=

lim

n→+∞

 

1-2n

1+3•2n

=

lim

n→+∞

 

1 2n -1

1 2n +3

，利用函数极限的运算法则计算求得结果．

解答： 解：由题意可得a_n=2ⁿ，在（1+3x）ⁿ的展开式中，令x=1可得各项系数之和为b_n=4ⁿ，
则

lim

n→+∞

an-bn

an+3bn

=

lim

n→+∞

2n-4n

2n+3•4n

=

lim

n→+∞

 

1-2n

1+3•2n

=

lim

n→+∞

 

1 2n -1

1 2n +3

=

0-1

0+3

=-

1

3

，
故答案为：-

1

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入．还考查了函数极限的运算法则的应用，属于基题．