Question

如图，F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F₁的直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，若△ABF₂为等腰直角三角形且∠ABF₂=90°，双曲线的离心率为e，则e²=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题设条件，利用双曲线的定义，推导出|AF₂|=4a，再利用勾股定理确定a和c的关系式，由此能求出结果．

解答： 解：∵过F₁的直线l与双曲线的左支相交于A、B两点，
且三角形ABF₂是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴设|BF₂|=|AB|=x，∠ABF₂=90°，
∴|AF₁|=x-|BF₁|=2a，
∴|AF₂|=4a，
∵∠ABF₂=90°，
∴2x²=16a²，解得|BF₂|=|AB|=2

2

a，
∴|BF₁|=（2

2

+2）a，
∴[（2

2

+2）a]²+（2

2

a）²=（2c）²，
∴e²=5+2

2

．
故答案为：5+2

2

．

点评：本题考查双曲线的离心率的平方的求法，解题时要熟练掌握双曲线的性质，注意数形结合思想的合理运用．