Question

若关于x不等式ax²+bx+c＞0的解集为α＜x＜β，则cx²+bx+a＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：关于x不等式ax²+bx+c＞0的解集为α＜x＜β，可得：α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．利用根与系数的关系把cx²+bx+a＜0化为α•βx²-（α+β）x+1＞0，即（αx-1）（βx-1）＞0．对α，β的大小关系分类讨论即可得出．

解答： 解：∵关于x不等式ax²+bx+c＞0的解集为α＜x＜β，
∴α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．
∴α+β=-

b

a

，α•β=

c

a

．
∴cx²+bx+a＜0化为

c

a

x2+

b

a

x+1＞0．
∴α•βx²-（α+β）x+1＞0，
化为（αx-1）（βx-1）＞0．
分类讨论：当0＜α＜β时，

1

α

＞

1

β

，此时不等式的解集为{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
当0=α＜β时，此时不等式化为βx-1＜0，不等式的解集为{x|x＜

1

β

}．
当α＜0＜β时，不等式化为(x-

1

α

)(x-

1

β

)＜0，不等式的解集为{x|

1

α

＜x＜

1

β

}．
当α＜0=β时，此时不等式化为αx-1＜0，不等式的解集为{x|x＞

1

α

}．
当α＜β＜0时，

1

α

＞

1

β

，不等式化为(x-

1

α

)(x-

1

β

)＞0，不等式的解集为{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
综上可得：当0＜α＜β时，不等式的解集为{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
当0=α＜β时，不等式的解集为{x|x＜

1

β

}．
当α＜0＜β时，不等式的解集为{x|

1

α

＜x＜

1

β

}．
当α＜0=β时，不等式的解集为{x|x＞

1

α

}．
当α＜β＜0时，不等式的解集为{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．