Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
（Ⅰ）求f（x）的周期；
（Ⅱ）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）若f（

a

2

+

π

12

）=

13

5

，a∈（0，

π

2

），求sina的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=1+2sin（2x-

π

3

），从而可求f（x）的周期；
（Ⅱ）若x∈[

π

4

，

π

2

]，则可确定2x-

π

3

的取值范围，从而可求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）由已知可求出sin（α-

π

6

）=

4

5

，从而可求cos（α-

π

6

），故可求sinα=sin[（α-

π

6

）+

π

6

]的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x=[1-cos（

π

2

+2x）]-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin（2x-

π

3

）---------（2分）
∴f（x）的周期T=

2π

2

=π---------------------------（3分）
（Ⅱ）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2X-

π

3

≤

2π

3

-----------------------（5分）
∴2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3---------------（7分）
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．------------------------------------------（8分）
（Ⅲ）∵f（

a

2

+

π

12

）=1+2sin（α+

π

6

-

π

3

）=1+2sin（α-

π

6

）=

13

5

∴sin（α-

π

6

）=

4

5

，--------------------------（10分）
∵a∈（0，

π

2

），所以α-

π

6

∈(-

π

6

，

π

3

)，（未说明角的范围扣1分）∴cos（α-

π

6

）=

3

5

---（12分）
∴sinα=sin[（α-

π

6

）+

π

6

]=

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3+4 3

10

----------（14分）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．