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(本小题满分12分)
已知函数
(1)判断其奇偶性;
(2)指出该函数在区间上的单调性并证明;
(3)利用(1)和(2)的结论,指出该函数在上的增减性.(不用证明)
(1)是奇函数;(2)上是增函数。(3)由于上的奇函数,在上又是增函数,因而该函数在上也是增函数。
本题考查的知识点是函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明,其中掌握函数奇偶性与单调性的定义及判定方法是解答本题的关键.
(1)由已知易判断出函数的定义域为R,关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,即可根据函数奇偶性的定义,进行判断得到结论;
(2)任取x1、x2满足0<x1<x2<1,并做出f(x1)-f(x2)的差,利用实数的性质,判断出f(x1)与f(x2)的大小,根据函数单调性的定义,即可得到答案;
(3)由(1)可得函数为奇函数,由(2)可得函数在(0,1)上为增函数,根据奇函数在对称区间上单调性相同,即可得到答案.
解:(1)函数的定义域为…………. 2分

是奇函数…………. 4分
(2)函数上是增函数
证明:设,则
…………. 8分

因此函数上是增函数………. 10分
(3)由于上的奇函数,在上又是增函数,因而该函数在
也是增函数………. 12分
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