Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+y²=1（a为常数且a＞1），向量

m

=（l，t）（t＞0），经过A（-a，0），以

m

为方向向量的直线交椭圆于点B，直线BO交椭圆于点C．
（1）用t表示△ABC的面积S（t）；
（2）若t∈[

1

2

，1]，求S（t）最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：计算题,函数的性质及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出直线AB的方程，代入椭圆方程，求出B的坐标，再由面积公式，即可得到S（t）；
（2）令g（t）=a²t+

1

t

，讨论当a≥2时，当1＜a＜2时，g（t）的单调性，求出最小值，即可得到面积的最大值．

解答： 解：（1）设直线AB：y=t（x+a），代入椭圆方程，可得
（1+a²t²）x²+2a³t²x+a⁴t²-a²=0，
则-ax_B=

a4t2-a2

1+a2t2

，解得，x_B=

a-a3t2

1+a2t2

，
则y_B=t（x_B+a）=

2at

1+a2t2

，
则△ABC的面积S（t）=S_△AOB+S_△AOC=

1

2

|AO|•|y_B-y_C|
=

1

2

a•2•

2at

1+a2t2

=

2a2t

1+a2t2

（t＞1）；
（2）由于S（t）=

2a2t

1+a2t2

（t＞1）=

2a2

1 t +a2t

，
令g（t）=a²t+

1

t

，当a≥2时，g（t）在[

1

2

，1]上递增，
即有g（

1

2

）最小，且为2+

1

2

a²，S（t）取得最大值

4a2

4+a2

；
当1＜a＜2时，g（t）在[

1

2

，

1

a

]上递减，[

1

a

，1]上递增，
则g（

1

a

）最小，且为2a，S（t）取得最大值a．
综上，当a≥2时，S（t）取得最大值

4a2

4+a2

；
当1＜a＜2时，S（t）取得最大值a．

点评：本题考查椭圆的性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，考查函数的单调性的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．