Question

4．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+cos²x．
（1）试求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若f（$\frac{A}{2}$）=1，a=2，试求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式，降幂公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x+$\frac{1}{2}$，利用周期公式可求最小正周期，根据余弦函数的单调性可求单调递减区间．
（2）由（1）及f（$\frac{A}{2}$）=1可求A，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式即可得解面积的最大值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{2}）+\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=cos2x+\frac{1}{2}$．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
∵令$2kπ≤2x≤2kπ+π⇒kπ≤x≤kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为$[kπ，kπ+\frac{π}{2}]$，k∈Z．
（2）∵$f（\frac{A}{2}）=1⇒cosA+\frac{1}{2}=1⇒cosA=\frac{1}{2}⇒A=\frac{π}{3}$．
又∵a=2，
∴a²=b²+c²-2bccosA，可得：4=b²+c²-bc≥bc，
∴bc≤4．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，当且仅当b=c=2时取等号．

点评 本题主要考查了诱导公式，降幂公式，周期公式，余弦函数的单调性，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．