Question

14．已知函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中正确的是（1），（2），（4）．
（1）f（$\frac{1}{k}$）＞$\frac{1}{k}$-1；（2）f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$；（3）f（$\frac{1}{k-1}$）＜$\frac{2-k}{k-1}$；（4）f（$\frac{1}{k}$）＜f（$\frac{1}{k-1}$）

Answer 1

分析 根据导数的概念得出$\frac{f（x）+1}{x}$＞k＞1，（1），（2）分别取x=$\frac{1}{k}$，x=$\frac{1}{k-1}$判断即可，（4）根据函数的单调性判断即可．

解答 解：∵f′（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$，
且f′（x）＞k＞1，
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，
即$\frac{f（x）+1}{x}$＞k＞1，
对于（1），令x=$\frac{1}{k}$，即有f（$\frac{1}{k}$）+1＞$\frac{1}{k}$•k=1，即为f（$\frac{1}{k}$）＞0，故（1）正确；
对于（2），当x=$\frac{1}{k-1}$时，f（$\frac{1}{k-1}$）+1＞$\frac{1}{k-1}$•k=$\frac{k}{k-1}$，
即f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{k}{k-1}$-1=$\frac{1}{k-1}$，故f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$，故（2）正确；
对于（3），由（2）可得f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$＞$\frac{1}{k-1}$-1=$\frac{2-k}{k-1}$，故（3）不正确，
对于（4），函数递增，故（4）正确．
故正确个数为3，
故选；（1）（2）（4）

点评 本题考查了导数的概念，不等式的化简与运算以及变量的代换问题与应用问题，是中档题目．