Question

5．已知双曲线的渐近线的方程为y=±$\sqrt{2}$x，并经过点P（2，$\sqrt{2}$）．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）经过双曲线的右焦点F₂且倾斜角为30°的直线l交双曲线于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由题意设双曲线方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=λ，代入点P，即可求双曲线的标准方程；
（2）经过的双曲线右焦点F₂作倾斜角为30°直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3），联立双曲线得5x²+6x-27=0，利用弦长公式，即可求|AB|．

解答 解：（1）由题意设双曲线方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=λ，则4-1=λ，∴λ=3，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
（2）双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1的右焦点为F₂（3，0），
∴经过的双曲线右焦点F₂作倾斜角为30°直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3），
联立双曲线得5x²+6x-27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{6}{5}$，x₁x₂=-$\frac{27}{5}$，
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{（-\frac{6}{5}）^{2}-4×（-\frac{27}{5}）}$=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．