Question

3．已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，则a的取值范围是[1，2]．

Answer 1

分析 由柯西不等式得（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$）（2b²+3c²+6d²）≥（b+c+d）²，从而得到关于a的不等关系：5-a²≥（3-a）²，解之即a的取值范围．

解答 解：由柯西不等式得（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$）（2b²+3c²+6d²）≥（b+c+d）²
即2b²+3c²+6d²≥（b+c+d）²
将条件代入可得5-a²≥（3-a）²，解得1≤a≤2．
当且仅当$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{\frac{1}{3}}}=\frac{\sqrt{6}d}{\sqrt{\frac{1}{6}}}$时等号成立，
可知b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{3}$，d=$\frac{1}{6}$时a最大=2，
b=1，c=$\frac{2}{3}$，d=$\frac{1}{3}$时，a最小=1，
所以：a的取值范围是[1，2]．
故答案为：[1，2]．

点评 此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧性，需要同学们对一般形式的柯西不等式非常熟练．