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    【题目】焦距为的椭圆()，如果满足“”，则称此椭圆为“等差椭圆”.

    （1）如果椭圆()是“等差椭圆”，求的值；

    （2）如果椭圆 ()是“等差椭圆”，过作直线与此“等差椭圆”只有一个公共点，求此直线的斜率；

    （3）椭圆()是“等差椭圆”，如果焦距为12，求此“等差椭圆”的方程；

    （4）对于焦距为12的“等差椭圆”，点为椭圆短轴的上顶点，为椭圆上异于点的任一点，为关于原点的对称点(也异于)，直线分别与轴交于两点，判断以线段为直径的圆是否过定点？说明理由.

    【答案】（1）；（2）；（3）；（4）是过定点，理由见解析；

    【解析】

    （1）联立与，消去，化简可得结果；

    （2）联立直线与椭圆方程，根据判别式等于0，可解得结果；

    （3）联立解出即可得到结果.

    （4）设，则，利用直线方程求出的坐标，进而求出以线段为直径的圆的方程，根据圆的方程得到定点坐标.

    （1）因为椭圆()是“等差椭圆”，所以，

    所以，又，所以，化简得.

    （2）显然直线有斜率，设为，则直线，

    由（1）知，所以椭圆方程为：，

    联立，消去并整理得，

    因为直线与此“等差椭圆”只有一个公共点，

    所以，化简得，所以.

    （3）因为，所以，所以，又，

    联立，解得，

    所以此“等差椭圆”的方程为：.

    （4）是过定点，理由如下：

    由（3）可知椭圆方程为：，

    所以，设，则，

    所以直线的方程为：，令，得，所以，

    同理可得，

    所以以为直径的圆的方程为，

    结合，化简得 ，

    令，得，所以该圆恒过定点.

    练习册系列答案
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