Question

12．已知c＞0，设命题p：y=c^x为减函数，命题q：函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析 由y=c^x为减函数求出满足p真的c的范围；再由f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立求出c的范围，把p∨q为真命题，p∧q为假命题转化为命题p与q一真一假，然后分类求解c的范围，取并集得答案．

解答 解：∵命题p：y=c^x为减函数，∴0＜c＜1；
函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥$2\sqrt{x•\frac{1}{x}}=2$，当且仅当x=1时取“=”，
∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，即2$＞\frac{1}{c}$恒成立，即c$＞\frac{1}{2}$．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q一真一假，
当p真q假时，0$＜c≤\frac{1}{2}$；
当p假q真时，c≥1．
∴c的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查复合命题的真假判断，考查了函数恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．