Question

7．已知函数f（x）=$\frac{x-2}{x+2}$e^x，g（x）=2lnx-ax（a∈R）
（1）讨论f（x）的单调性； 
（2）证明：当b∈[0，1）时．函数h（x）=$\frac{{e}^{x}-bx-b}{{x}^{2}}$（x＞0）有最小值，记h（x）的最小值为φ（b），求φ（b）的值域； 
（3）若g（x）存在两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的取值范围，并比较g′（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$）与0的大小．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定义域，把原函数求导，利用导函数恒大于等于0可得f（x）的单调性； 
（2）求出h′（x）由（1）知，f（x）+b=$\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}+b$单调递增，又由函数零点存在定理可得存在唯一t∈（0，2]，使得h′（t）=f（t）+b=0，则x∈（0，t）时，h′（t）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增．求出函数最小值，再由最小值为关于t的增函数可得φ（b）的值域； 
（3）定义域为（0，+∞），g′（x）=$\frac{2}{x}-a=\frac{2-ax}{x}$，当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上递增，不合题意；当a＞0时，求出函数的单调区间，求得$g（x）_{max}=g（\frac{2}{a}）$．
设F（x）=g（x）-g（$\frac{4}{a}-x$），求导得其单调性，得到g（x）＜g（$\frac{4}{a}-x$）．可得g（x₂）=g（x₁）＜g（$\frac{4}{a}-{x}_{1}$）．进一步得到x₁+x₂＞$\frac{4}{a}$，即$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$$＞\frac{2}{a}$，可得g′（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$）＜0．

解答 （1）解：f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（-2，+∞），
f′（x）=$\frac{（x-1）（x+2）{e}^{x}-（x-2）{e}^{x}}{（x+2）^{2}}=\frac{{x}^{2}{e}^{x}}{（x+2）^{2}}≥0$，
当且仅当x=0时，f′（x）=0，∴f（x）在（-∞，-2），（-2，+∞）单调递增；
（2）证明：h′（x）=$\frac{（{x}^{2}-2x）{e}^{x}+（{x}^{2}+2x）b}{{x}^{4}}=\frac{（x-2）{e}^{x}+（x+2）b}{{x}^{3}}$=$\frac{（x+2）（\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}+b）}{{x}^{3}}$．
由（1）知，f（x）+b=$\frac{x-2}{x+2}{e}^{x}+b$单调递增，
对任意b∈[0，1），f（0）+b=-1+b＜0，f（2）+b=b≥0，
因此，存在唯一t∈（0，2]，使得h′（t）=f（t）+b=0，
当x∈（0，t）时，h′（t）＜0，h（x）递减，当x∈（t，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增．
∴h（x）有最小值φ（b）=h（t）=$\frac{{e}^{t}-bt-b}{{t}^{2}}=\frac{{e}^{t}}{t+2}$．
而$（\frac{{e}^{t}}{t+2}）′=\frac{{e}^{t}（t+1）}{（t+2）^{2}}$＞0，∴h（t）=$\frac{{e}^{t}}{t+2}$在（0，2]上递增．
∴h（0）＜h（t）≤h（2），即h（a）的值域为（$\frac{1}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{4}$]；
（3）解：定义域为（0，+∞），g′（x）=$\frac{2}{x}-a=\frac{2-ax}{x}$，
当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上递增，不合题意；
当a＞0时，g（x）在（0，$\frac{2}{a}$）上递增，在（$\frac{2}{a}$，+∞）上递减，
且当x→0⁺时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→-∞．
∴$g（x）_{max}=g（\frac{2}{a}）$＞0，0＜a＜$\frac{2}{e}$．
设F（x）=g（x）-g（$\frac{4}{a}-x$），F′（x）=$\frac{2}{x}+\frac{2}{\frac{4}{a}-x}-2a=\frac{\frac{8}{a}}{x（\frac{4}{a}-x）}-2a≥0$．
∴F（x）在（0，$\frac{4}{a}$）上递增，F（x）＜F（$\frac{2}{a}$）=0，即g（x）＜g（$\frac{4}{a}-x$）．
∴g（x₂）=g（x₁）＜g（$\frac{4}{a}-{x}_{1}$）．
又x₁＜$\frac{2}{a}$＜x₂，∴x₂，$\frac{4}{a}-{x}_{1}$＞$\frac{2}{a}$，且在（$\frac{2}{a}，+∞$）上单调递减，
∴x₂＞$\frac{4}{a}-{x}_{1}$，即x₁+x₂＞$\frac{4}{a}$，$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$$＞\frac{2}{a}$，
∴g′（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$）＜0．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是压轴题．