Question

10．已知函数f（x）=log_a（$\frac{1-x}{b+x}$）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，当x∈（-1，a]时，函数y=f（x）的值域是（-∞，1]．
（1）确定b的值；
（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增，并求a的值；
（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b；
（2）运用单调性的定义，可得g（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$在（-1，1）递减，再由复合函数的单调性，可得f（x）在（-1，1）递增；由题意可得f（a）=1，解方程可得a的值；
（3）由f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²），f（x）在（-1，1）递增，可得t²-2t＞k-2t²，且-1＜t²-2t＜1，-1＜k-2t²＜1，可得k＜3t²-2t的最小值，运用二次函数的最值求法，可得最小值，即可得到k的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_a（$\frac{1-x}{b+x}$）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴log_a$\frac{1+x}{b-x}$+log_a$\frac{1-x}{b+x}$=log_a（$\frac{1+x}{b-x}$•$\frac{1-x}{b+x}$）=0，
即$\frac{1+x}{b-x}$•$\frac{1-x}{b+x}$=1，
∴1-x²=b²-x²，
即b²=1，解得b=1（-1舍去），
当b=1时，函数f（x）=log_a$\frac{1-x}{1+x}$为奇函数，满足条件．
（2）证明：设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
由g（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$，
g（x₁）-g（x₂）=$\frac{2}{1+{x}_{1}}$-$\frac{2}{1+{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$，
x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，可得x₂-x₁＞0，（1+x₁）（1+x₂）＞0，
则g（x₁）-g（x₂）＞0，即有g（x）在（-1，1）递减，
由f（x）=log_ag（x），0＜a＜1可得，
f（x）在（-1，1）递增；
∴函数f（x）=log_a$\frac{1-x}{1+x}$在x∈（-1，a）上单调递增，
∵当x∈（-1，a]时，函数f（x）的值域是（-∞，1]，
∴f（a）=1，
即f（a）=log_a$\frac{1-a}{1+a}$=1，
∴$\frac{1-a}{1+a}$=a，
即1-a=a+a²，
∴a²+2a-1=0，解得a=-1±$\sqrt{2}$，
∵0＜a＜1，∴a=-1+$\sqrt{2}$；
（3）对于任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，
即有f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²），
由f（x）在（-1，1）递增，
可得t²-2t＞k-2t²，且-1＜t²-2t＜1，-1＜k-2t²＜1，
可得k＜3t²-2t的最小值，
由3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，可得t=$\frac{1}{3}$，取得最小值-$\frac{1}{3}$，可得k＜-$\frac{1}{3}$．检验成立．
则k的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的性质的应用，以及复合函数的单调性的应用，考查函数性质的综合应用，属于中档题．