Question

设函数f（x）=lnx-px+1，p为常数（p＞0）g（x）=

3

2

ax³-（3a-1）x+

3

2

a-1，若对任意的x∈〔1，+∞），函数g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：当a=0时，g（x）=x-1，g′（x）=1，g（x）＞g（1）=1-1=0，成立；当a≠0时，g′(x)=

9

2

ax2-3a+1，a＞0时，g′(x)=

9

2

ax2-3a+1＞0，g（x）＞g（1）=

3

2

a-(3a-1)+

3

2

a-1=0成立；a＜0时，g′(x)=

9

2

ax2-3a+1＞0不成立，函数g（x）≥0不恒成立．由此得到实数a的取值范围[0，+∞）．

解答： 解：当a=0时，g（x）=x-1，g′（x）=1，
在x∈（1，+∞）上，g′（x）=1＞0，f（x）是增函数，
∴g（x）＞g（1）=1-1=0，
∴a=0成立；
当a≠0时，g（x）=

3

2

ax³-（3a-1）x+

3

2

a-1，
g′(x)=

9

2

ax2-3a+1，
∵x＞1，
∴a＞0时，g′(x)=

9

2

ax2-3a+1＞0，
g（x）＞g（1）=

3

2

a-(3a-1)+

3

2

a-1=0，
∴a＞0时，成立；
∵x＞1，
∴a＜0时，g′(x)=

9

2

ax2-3a+1＞0不成立，
∴函数g（x）≥0不恒成立．
综上所述，a≥0．
∴实数a的取值范围[0，+∞）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和导数性质的合理运用．