Question

19．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sinA=2sinB，c=4，C=$\frac{π}{3}$，则△ABC的面积为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理得a=2b，由余弦定理得b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，由此能求出△ABC的面积．

解答 解：∵△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．
sinA=2sinB，c=4，C=$\frac{π}{3}$，
∴a=2b，∴16=b²+4b²-2×$2b×b×cos\frac{π}{3}$，
解得b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×sin\frac{π}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题三角形面积的求法，考查余弦定理、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、方程与函数思想、数形结合思想，是中档题．