Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{2-x}，x＜2}\\{\frac{3}{4}{x}^{2}-3x+4，x≥2}\end{array}\right.$，若不等式a≤f（x）≤b的解集恰好为[a，b]，则b-a=4．

Answer 1

分析 通过作出函数y=f（x）的图象，利用a≤2且f（a）=f（b）=b，可知b=4，a=0．

解答 解：因为y=2^2-x=4×$（\frac{1}{2}）^{x}$的图象在R上单调递减，
且过定点（0，4），
y=$\frac{3}{4}$x²-3x+4的图象是对称轴为x=2，开口向上的抛物线，
所以容易得到函数y=f（x）的图象，如图，
且y=f（x）在（-∞，2）上单调递减，
在（2，+∞）上单调递增，
因为不等式a≤f（x）≤b的解集恰好为[a，b]，
所以a≤2，且f（a）=f（b）=b，易知b=4，a=0，
所以b-a=4-0=4，
故答案为：4．

点评 本题是一道关于分段函数的应用题，考查数形结合能力，考查分析问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．