Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，点A在椭圆C上，|AF₁|=2，∠F₁AF₂=60°，过F₂与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆C的方程．
（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），设直线PQ的方程为y=k（x-1），邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，通过点N在直线PQ上，求出N的坐标，利用MN⊥PQ，转化求解m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由$e=\frac{1}{2}$得a=2c，|AF₁|=2，|AF₂|=2a-2，
由余弦定理得，$|A{F_1}{|^2}+|A{F_2}{|^2}-2|A{F_1}|•|A{F_2}|cosA=|{F_1}{F_2}{|^2}$，
解得c=1，a=2，b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
由F₂（1，0），设直线PQ的方程为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理得${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，故${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，
又点N在直线PQ上，${y_0}=\frac{-3k}{{4{k^2}+3}}$，所以$N（\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，\frac{-3k}{{4{k^2}+3}}）$．
因为MN⊥PQ，所以${k_{MN}}=\frac{{0-\frac{-3k}{{4{k^2}+3}}}}{{m-\frac{{4{k^2}}}{{4{k^2}+3}}}}=-\frac{1}{k}$，整理得$m=\frac{k^2}{{4{k^2}+3}}=\frac{1}{{4+\frac{3}{k^2}}}∈（0，\frac{1}{4}）$，
所以存在实数m，且m的取值范围为$（0，\frac{1}{4}）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．