Question

11．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx+b（a＞0）．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-1，求实数a，b的值；
（2）在（1）的b下，当a≥2时，讨论函数f（x）的零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，由已知切线的方程可得f（1）=0，f′（1）=1，解方程可得a，b的值；
（2）求出f（x）的导数，并分解因式，讨论a=2，a＞2，判断导数的符号，求得单调区间，由f（1）=0，运用构造函数法，求出导数，判断单调性，即可得到所求结论．

解答 解：（1）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx+b的导数为f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$，
可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为k=2a-a-2+1=a-1，
由切线方程y=x-1，可得a-1=1，解得a=2；
由f（1）=a-a-2+0+b=0，解得b=2．
（2）f（x）=ax²-（a+2）x+lnx+2（x＞0，a≥2），
导数为f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$=$\frac{（ax-1）（2x-1）}{x}$，
当a=2时，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）递增，由f（1）=a-a-2+0+2=0，
可得f（x）此时有一个零点；
当a＞2，即0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$时，由f′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{2}$或0＜x＜$\frac{1}{a}$；由f′（x）＜0可得$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$．
即有f（x）的增区间为（0，$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞），减区间为（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$），
由f（1）=0，可得f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）有且只有一个零点，且f（$\frac{1}{2}$）＜0．
f（$\frac{1}{a}$）=1-lna-$\frac{1}{a}$，设g（x）=1-$\frac{1}{x}$-lnx（x＞2），g′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$＜0（x＞2），
可得g（x）在（2，+∞）递减，可得g（x）＜g（2）=1-$\frac{1}{2}$-ln2=ln$\frac{\sqrt{e}}{2}$＜0，
于是f（$\frac{1}{a}$）＜0，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）无零点，
故a＞2时，f（x）有且只有一个零点．
综上可得，a≥2时，f（x）有且只有一个零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数的零点个数，注意运用转化思想，分类讨论思想方法，以及构造函数法，求出导数和单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．