Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．求证直线l恒过定点，并求出斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆焦点在x轴上，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a²=2b²．由原点到直线x-y+$\sqrt{2}$=0的距离为b，即b=$\frac{丨0-0+\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，即可求得²=2，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），代入椭圆方程，由△＞0，求得m²＜2k²+1，由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，∠NF₂F₁=∠MF₂A，且∠MF₂A≠90°，${k}_{M{F}_{2}}$+${k}_{N{F}_{2}}$=0，由直线的斜率公式，求得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．即可求得m=-2k，代入直线方程求得y=kx-2k=k（x-2），则直线过定点（2，0），由m²＜2k²+1，即可求得斜率k的取值范围．

解答 解：（1）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）可知焦点在x轴上，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2b²．
∵以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切，
∴原点到直线x-y+$\sqrt{2}$=0的距离为b，
b=$\frac{丨0-0+\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，
∴b²=1，a²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．…（4分）
（2）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，得m²＜2k²+1，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$．…（7分）
∵∠NF₂F₁=∠MF₂A，且∠MF₂A≠90°，${k}_{M{F}_{2}}$+${k}_{N{F}_{2}}$=0．
又F₂（1，0），
则$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=0，即$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$=0，
化简得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
将x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，代入上式，求得m=-2k，…（9分）
∴直线l的方程为y=kx-2k=k（x-2），
∴直线过定点（2，0）． …（10分）
将m=-2k代入m²＜2k²+1，
得4k²＜2k²+1，即k²＜$\frac{1}{2}$，
又∵k≠0，
∴直线l的斜率k的取值范围是（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及直线方程的综合应用，考查计算能力，属于中档题．