Question

【题目】如图，A、B分别是椭圆的左、右端点，F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

（1）点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，

解方程组求得点P的坐标．

（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．

试题解析：

（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x﹣4，y）．

由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．

由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是．

（2）直线AP的方程是 ，即 x﹣y+6=0．

设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．

于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．

设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有 d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，

∴当x=时，d取得最小值．