Question

1．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，对?n∈N^*有2S_n=a_n²+a_n．令b_n=$\frac{\sqrt{{{a}_{n}}_{+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n+1}}•\sqrt{{a}_{n}}}$，设{b_n}的前n项和为T_n，则T₁₅=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用2a_n+1=2S_n+1-2S_n整理得a_n+1-a_n=1，进而计算可得数列{a_n}的通项公式，确定b_n=$\frac{\sqrt{{{a}_{n}}_{+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n+1}}•\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，即可求出T₁₅．

解答 解：∵2S_n=a_n²+a_n，
∴2S_n+1=a_n+1²+a_n+1，
∴2a_n+1=2S_n+1-2S_n
=（a_n+1²+a_n+1）-（a_n²+a_n）
=a_n+1²+a_n+1-a_n²-a_n，
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n+1+a_n，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=1，数列是公差为1的等差数列，
又∵2a₁=2S₁=a12+a1，
∴a₁=1，
∴a_n=n．
∴b_n=$\frac{\sqrt{{{a}_{n}}_{+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n+1}}•\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
∴T₁₅=1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{15}}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．