Question

【题目】已知函数，.

（1）求的单调区间；

（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围.若的极大值为1，求的值.

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，，单调减区间为；（2），.

【解析】

（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调区间；

（2）由在处取得极值，求得，进而求得函数的单调性与极值，结合直线与函数的图象有三个不同的交点，列出不等式，即可求解,

（1）由题意，函数，则，

当时，对，有，

所以当时，的单调增区间为，

当时，由，解得或，

由，解得，

所以当时，的单调增区间为，，

的单调减区间为.

（2）因为在处取得极值，

所以，所以.

所以，.

由，解得，.

由（1），可得函数的单调增区间为，，的单调减区间为，

所以函数在处取得极大值，在处取得极小值.

因为直线与函数的图象有三个不同的交点，

结合的单调性，可得，

即实数的取值范围是.