Question

设f（x）=

p

•

q

，而

p

=（2-4sin²

ωx

2

，1），

q

=（cosωx，

3

sin2ωx）（x∈R）．
（1）若f（

π

3

）最大，求ω能取到的最小正数值；
（2）对（1）中的ω，若f（x）=（2+

3

）sinx+1且x∈（0，

π

2

），求tan

x

2

．

Answer 1

考点：三角函数的最值,平面向量数量积的运算,三角函数的恒等变换及化简求值

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）利用平面向量的数量积和三角函数的恒等变换，求出f（x）的表达式，由x=

π

3

时，f（x）最大，求出ω的值；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，结合f（x）=（2+

3

）sinx+1，求出tanx的值；再由半角公式求出tan

x

2

的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

p

•

q

=（2-4sin²

ωx

2

）cosωx+

3

sim2ωx
=2cosωx•cosωx+

3

sin2ωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx+1
=2sin（2ωx+

π

6

）+1，
当x=

π

3

时，2ω×

π

3

+

π

6

=

π

2

，
解得ω=

1

2

；
（2）∵ω=

1

2

时，f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，
且f（x）=（2+

3

）sinx+1；
∴2sin（x+

π

6

）+1=（2+

3

）sinx+1，
即2sinxcos

π

6

+2cosxsin

π

6

=2sinx+

3

sinx，
∴tanx=

1

2

；
∴

2tan x 2

1-tan2 x 2

=

1

2

，
解得tan

x

2

=

5

-2，或tan

x

2

=-

5

-2，
又∵x∈（0，

π

2

），∴

x

2

∈（0

π

4

），
∴tan

x

2

=

5

-2．

点评：本题考查了平面向量的应用问题以及三角函数的恒等变换三角函数求值等问题，是综合题目．