Question

设x≥0，y≥0且x+2y=

1

2

，则函数u=log_0.5（8xy+4y²+1）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的值域与最值

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中x≥0，y≥0且x+2y=

1

2

，可得y∈[0，

1

4

]，8xy+4y²+1=-12y²+8y+1，结合二次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质，可得答案．

解答： 解：∵x+2y=

1

2

，
∴x=

1

2

-2y，
由x≥0，y≥0，可得y∈[0，

1

4

]，
则8xy+4y²+1=-12y²+8y+1，
令t=-12y²+8y+1，
当y∈[0，

1

4

]时，t∈[1，

9

4

]，
又由u=log_0.5t为减函数，
故当t=1时函数u=log_0.5（8xy+4y²+1）的最大值为0，
故答案为：0．

点评：本题考查的知识点是对数函数的值域和最值，其中熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．