Question

设数列{a_n}：a₀=2，a₁=16，a_n+2=16a_n+1-63a_n，n∈N^*，则a₂₀₀₅被64除的余数为（　　）

• A、0
• B、2
• C、16
• D、48

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：将a_n+2=16a_n+1-63a_n化为a_n+2-7a_n+1=9a_n+1-63a_n，或a_n+2-9a_n+1=7a_n+1-63a_n，从而根据等比数列的定义可得{a_n-7a_n-1}，{a_n-9a_n-1}是等比数列，然后求出a_n的通项公式，用多项式展开后得出结果．

解答： 解：∵a_n+2=16a_n+1-63a_n，
∴a_n+2-7a_n+1=9a_n+1-63a_n，或a_n+2-9a_n+1=7a_n+1-63a_n
即a_n+2-7a_n+1=9（a_n+1-7a_n），或a_n+2-9a_n+1=7（a_n+1-9a_n），
又∵a₀=2，a₁=16，
∴{a_n-7a_n-1}是首项为2，公比为9的等比数列，
{a_n-9a_n-1}是首项为-2，公比为7的等比数列．
∴a_n+1-7a_n=2•9ⁿ，
a_n+1-9a_n=-2•7ⁿ．
联立上述两式解得，
an=9n+7n，
a2005=92005+72005
=（8+1）²⁰⁰⁵+（8-1）²⁰⁰⁵
=2(

C

0 2005

82005+

C

2 2005

82003+…+8)，
∴上式中除最后一项8之外都是64的倍数，
∴a₂₀₀₅被64除的余数为2×8=16．
故选：C．

点评：本题主要考查递推式的转化，等比数列的定义和多项展开式的灵活应用．属于中档题．