Question

在△ABC中，b=4，A=

π

3

，面积s=2

3

（1）求BC边的长度；
（2）求值：

sin2( A 4 + π 4 )+cos2B

cos C 2 sin C 2 + sin C 2 cos C 2

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA，b，以及已知面积代入求出c的值，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理求出a的值，即为BC的长；
（2）利用正弦定理列出关系式，将sinA，a，b的值代入求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，原式分母通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用同角三角函数间基本关系及二倍角的正弦函数公式变形，将各自的角度代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，b=4，A=

π

3

，面积S=2

3

，
∴S=

1

2

bcsinA，即2

3

=

1

2

×4c×

3

2

，
解得：c=2，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=16+4-2×2×4×

1

2

=12，即BC=a=2

3

；
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=

4× 3 2

2 3

=1，
∴B=

π

2

，C=

π

6

，
则原式=

sin2 π 3 +cosπ

1 1 2 sinC

=（

3

4

-1）×

1

2

sinC=-

1

16

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．