Question

二次函数f（x）的图象开口向下，且满足f（x+2）=f（-x），若向量

a

=(log2m，1)，

b

=(-1，2)，则满足不等式f（

a

•

b

）＜f（-1）的实数m的取值范围

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：通过分类讨论，利用二次函数的图象与性质、数量积运算即可得出．

解答： 解：∵二次函数f（x）的图象开口向下，且满足f（x+2）=f（-x），
∴f（x）关于直线x=1对称．
∵

a

•

b

=-log2m+2，
∴f(

a

•

b

)=f（-log₂m+2）=f（log₂m），
∴不等式f（

a

•

b

）＜f（-1）可化为f（log₂m）＜f（-1）．
①当log₂m≤1即0＜m＜2时，函数f（x）在（-∞，1]上单调递增，
∴log₂m＜-1，解得0＜m＜

1

2

．
此时得0＜m＜

1

2

．
②当log₂m＞1，即m＞2时，
∵f（-1）=f（3），函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴log₂m＞3，解得m＞2³=8．
此时可得m＞8．
综上可知：实数m的取值范围是（0，

1

2

）∪（8，+∞）．
故答案为：（0，

1

2

）∪（8，+∞）．

点评：本题考查了分类讨论、二次函数的图象与性质、数量积运算，属于中档题．