如图.景点A在景点B的正北方向2千米处.景点C在景点B的正东方向23千米处．(Ⅰ)游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距7千米的点P处.记∠PBC=α.求sinα的值,(Ⅱ)甲沿CA从景点C出发前往景点A.乙沿AB从景点A出发前往景点B.甲乙同时出发.甲的速度为1千米/小时.乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系.对讲机在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向2

千米处．
（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距

千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；
（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：

≈2.2，

≈3.9）

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，求出∠C=30°，在△PBC中，由余弦定理，求得PC，在△PBC中，由正弦定理求sinα的值；
（Ⅱ）设甲出发后的时间为t小时，①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…（9分）
②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，在△AMQ中，由余弦定理可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2

，∴∠C=30°
在△PBC中，由余弦定理得BC²+PC²-2BC•PC•cos30°=BP²，即12+PC2-2×2

×PC×

=7
化简，得PC²-6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去）　…（3分）
在△PBC中，由正弦定理得

sinα

sin30°

，即

sinα

∴sinα=

…（6分）
（Ⅱ）Rt△ABC中，BA=2，BC=2

，AC=

BA2+BC2

=4
设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，AM=4-t
在△PBC中，由余弦定理得BC²+PC²-2BC•PC•cos30°=BP²，
即12+PC2-2×2

×PC×

=7，化简得PC²-6PC+5=0
解得PC=1或PC=5（舍去）
①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…（9分）
②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t
在△AMQ中，由余弦定理得，MQ²=（4-t）²+（2t）²-2×2t×（4-t）×cos60°=7t²-16t+16
令MQ＞3即MQ²＞9，得7t²-16t+7＞0，解得t＜

或t＞

∴0≤t＜

…（12分）
综上，当0≤t＜

时，甲、乙间的距离大于3米．
又

≈0.6，故两人不能通话的时间大约为0.6小时　…（13分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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