Question

在△ABC中，角A，B，C对应的边是a，b，c，满足2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（1）求角A；    
（2）若b=2，c=1，D为BC上一点，且CD=2BD，求AD的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用正弦定理化简2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，再利用余弦定理求出cosA，从而求出A即可；
（2）如图过D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F，根据平行线等分线段定理和向量的加法可得

AD

=

2

3

AB

+

1

3

AC

，利用向量的数量积公式可求出|

AD

|2=(

2

3

AB

+

1

3

AC

)2=

4

9

AB

2+

4

9

AB

•

AC

+

1

9

AC

2=

4

9

，从而得出|AD|=

2

3

．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，满足
2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
由正弦定理可得
2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
故cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

∵在△ABC中   
0＜A＜π
∴A=

2π

3

．
（2）如图过D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F，
则AEDF是平行四边形，且AE=

2

3

AB，AF=

1

3

AC，
∴

AD

=

2

3

AB

+

1

3

AC

，

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cosA=-1，
∴|

AD

|2=(

2

3

AB

+

1

3

AC

)2=

4

9

AB

2+

4

9

AB

•

AC

+

1

9

AC

2=

4

9

，
∴|AD|=

2

3

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理得灵活应用，以及向量加法和数量积的几何意义的应用，属于中档题．