Question

过圆C₁：x²+y²-6x=0与圆C₂：x²+y²=4的交点，圆心在以

c

=（0，1）为方向向量且与圆C₂：x²+y²=4相切的直线上的圆的方程为

 

．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：联立圆C₁，圆C₂的方程可得两交点的坐标为A（

2

3

，

4 2

3

），B（

2

3

，-

4 2

3

）．由此可得圆心在x轴上．以

c

=（0，1）为方向向量且与圆C₂：x²+y²=4相切的直线为x=±2．所以圆心坐标为C（±2，0）．半径长即为|AC|．从而可得圆的方程．

解答： 解：将圆C₁，圆C₂的方程联立，得

x2+y2-6x=0 x2+y2=4

．
解得

x= 2 3 y= 4 2 3

或

x= 2 3 y=- 4 2 3

．
∴圆C经过点A（

2

3

，

4 2

3

），B（

2

3

，-

4 2

3

）．
∴圆C的圆心在x轴上．
又∵以

c

=（0，1）为方向向量且与圆C₂：x²+y²=4相切的直线
为x=±2．
∴圆心坐标为C（±2，0）．
圆的半径r=|AC|
当圆心为（2，0）时，
|AC|=

( 2 3 -2)2+( 4 2 3 )2

=

4 3

3

．
此时，圆的方程为
(x-2)2+y2=

16

3

．
当圆心为（-2，0）时，
|AC|=

( 2 3 +2)2+( 4 2 3 )2

=

4 6

3

．
此时，圆的方程为
(x+2)2+y2=

32

3

．
故答案为：(x-2)2+y2=

16

3

或(x+2)2+y2=

32

3

．

点评：本题考查圆的标准方程，两点间的距离公式，方向向量等知识的综合运用．属于中档题．