Question

数列{a_n}，{b_n}满足b_n=

a1+2a2+…+nan

1+2+3…+n

（n∈N^*）．
（1）若{b_n}是等差数列，求证：{a_n}为等差数列；
（2）若a_n=2ⁿ，求数列{

bn

(n-1)•2n+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题设条伯推导出an+1=

(n+2)bn+1-nbn

2

，由此能够证明{a_n}是公差为

3

2

d的等差数列．
（2）记T_n=a_n+2a₂+…+na_n，由an=2n，得到Tn=2+2•22+…+n•2n，由此利用错位相减法和裂项求和法能求出数列{

bn

(n-1)•2n+1

}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：由题{b_n}是等差数列，设{b_n}的公差为d，
∵b_n=

a1+2a2+…+nan

1+2+3…+n

（n∈N^*），
∴（1+2+…+n）b_n=a₁+2a₂+…+na_n，①；
∴有[1+2+…+（n+1）]b_n+1=a₁+2a₂+…+na_n+（n+1）a_n+1，②…（3分）
∴②-①得：

(n+1)(n+2)

2

bn+1-

n(n+1)

2

bn=（n+1）a_n+1，
即an+1=

(n+2)bn+1-nbn

2

，
∴an=

(n+1)bn-(n-1)bn-1

2

，…（5分）
∴a_n+1-a_n=

1

2

(n+2)(bn+1-bn)-

1

2

(n-1)(bn-bn-1)=

3

2

d，
∴{a_n}是公差为

3

2

d的等差数列…（7分）
（2）解：记T_n=a_n+2a₂+…+na_n，
∵an=2n，
∴Tn=2+2•22+…+n•2n，①
∴2T_n=2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2，
∴bn=

a1+2a 2+…+nan

1+2+…+n

=

2Tn

n(n+1)

=

4[(n-1)•2n+1]

n(n+1)

，…（11分）
∴

bn

(n-1)•2n+1

=

4

n(n+1)

=4（

1

n

-

1

n+1

）…（13分）
∴Sn=4(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=4-

4

n+1

．…（14分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列前n项和的求法，解题时要注意错位相减法和裂项求和法的合理运用．