Question

已知函数f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R
（1）当a=

1

3

时，方程f（x）=b恰有三个根，求实数b的取值范围；
（2）当a=

1

3

时，是否存在区间[m，n]，使得函数的定义域与值域均为[m，n]，若存在，请求出所有可能的区间[m，n]，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，确定函数的单调性，从而要使方程f（x）=b恰有三个根，只须g（

1

4

）＞0，g（

1

3

）＜0，从而可求实数b的取值范围；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，求出函数的最值，即可求得结论．

解答： 解：（1）设g（x）=4x²-x-b（x≥

1

3

）
令g′（x）=8x-1=0，可得x=

1

8

，
∵

1

8

＜

1

3

，∴g（x）在[

1

3

，+∞）上单调增；
g（x）=-2x²+x-b（x＜

1

3

）
令g′（x）=-4x+1=0，可得x=

1

4

，
∵

1

4

＜

1

3

，∴g（x）在（-∞，

1

4

）上单调增；g（x）在[

1

4

，

1

3

）上单调减；
要使方程f（x）=b恰有三个根，只须g（

1

4

）=-2（

1

4

）²+

1

4

-b=

1

8

-b＞0，∴b＜

1

8

g（

1

3

）=-2（

1

3

）²+

1

3

-b=

1

9

-b＜0，∴b＞

1

9

∴

1

9

＜b＜

1

8

；
（2）当m＜n≤

1

4

时，f（x）在区间[m，n]上单调递增，所以

f(m)=m f(n)=n

，所以m=n，矛盾；
当m≤

1

4

≤n＜

1

3

时，n=f（

1

4

）=

1

8

，矛盾；
当m≤

1

4

＜

1

3

≤n时，n≥

1

3

＞

1

8

＞f（m），故f（x）在区间[m，n]上的最大值在[

1

3

，n]上取到．
∵f（x）在[

1

3

，n]上单调递增，∴n=f（n），∴n=

1

2

又m≤f（m）≤

1

8

，故m≤f（m）＜f（

1

6

）=f（

1

3

）=

1

9

，
∴f（x）在区间[m，n]上的最小值在[m.

1

4

]上取到
又f（x）在区间[-∞，

1

4

]上单调递增，故m=f（m），∴m=0
故[m．n]=[0，

1

2

]
当

1

4

≤m＜n≤

1

3

时，由x∈[

1

4

，

1

3

]，

1

9

≤f(x)≤

1

8

知

1

9

≤m，n≤

1

8

，矛盾．
当

1

4

≤m≤

1

3

＜n时，f（x）在区间[

1

4

，

1

3

]上单调递减，[

1

3

，n]上单调递增．故m=f（

1

3

）=

1

9

，矛盾
当

1

3

≤m＜n时，f（x）在区间[m，n]上单调递增，故

f(m)=m f(n)=n

，得m=n=

1

2

，矛盾．
综上所述m=0，n=

1

2

，即存在区间[0，

1

2

]满足条件．

点评：本题考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．