Question

在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，

CO

=x

CA

+y

CB

且x+y=1，函数f(m)=|

CA

-m

CB

|的最小值为

3

2

，则|

CO

|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，函数f（m）的最小值为

3

2

．利用数量积的性质可得∠ACB，进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1，函数f（m）的最小值为

3

2

．
∴函数f(m)=|

CA

-m

CB

|=

CA 2+m2 CB 2-2m CA • CB

=

1+m2-2mcos∠ACB

≥

3

2

，
化为4m²-8mcos∠ACB+1≥0恒成立．
当且仅当m=

8cos∠ACB

8

=cos∠ACB时等号成立，代入得到cos∠ACB=-

1

2

，∴∠ACB=

2π

3

．
∴|

CO

|2=x2

CA

2+y2

CB

2+2xy

CA

•

CB

=x2+y2+2xy×cos

2π

3

=x²+（1-x）²-x（1-x）=3(x-

1

2

)2+

1

4

，
当且仅当x=

1

2

=y时，|

CO

|2取得最小值

1

4

，
∴|

CO

|的最小值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了数量积的性质和二次函数的单调性，属于中档题．