Question

给出下列四个命题：
①函数y=sin（2x-

π

3

）的图象可以由y=sin2x的图象向右平移

π

6

个单位长度得到；
②函数y=3•2^x的图象可以由函数y=2^x的图象向左或向右平移得到；
③设函数f（x）=lg|x|-sinx的零点个数为n，则n=6；
④已知函数f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=e^x-e（e是自然对数的底数），如果对于任意x∈R总有f（x）＜0或g（x）＞0且存在x∈（-∞，-6），使得f（x）g（x）＜0，则实数m的取值范围是（-4，-3）．
则其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：必须对选项一一加以判断：对①运用三角函数的图象变换考虑；对②运用指数与对数的互化解决；对③运用两个函数y=lg|x|和y=sinx的图象交点解决；对④注意二次函数的图象变化，首先确定m＜0，其次注意运用两个定点（1，0），（-6，0）．

解答： 解：对①，因为函数y=sin（2x-

π

3

）即y=sin[2（x-

π

6

）]的图象，所以可以由y=sin2x的图象向右平移

π

6

个单位长度得到，这里向左（右）平移，都应针对自变量x而言，非2x，故①对；
对②，因为函数y=3•2^x的图象即y=2log23•2x=2x+log23，所以可以由函数y=2^x的图象向左平移log₂3个单位得到，故②对；
对③，函数f（x）=lg|x|-sinx=0的根的个数即y=lg|x|和y=sinx的交点个数，由图象可知有6个交点，故③对；
对④因为对任意任意x∈R总有f（x）＜0或g（x）＞0，所以m＜0，因为y=ex-e图象过（1，0），当y=f（x）图象过（1，0）时，m=-4，因为存在x∈（-∞，-6），使得f（x）g（x）＜0，所以当m=-3时，f（x）图象过
（-6，0），通过图象观察-4＜m＜-3成立，故实数m的取值范围是（-4，-3），即④对．
故答案为：①②③④

点评：本题主要考查函数的图象变换和函数零点问题，以及二次函数的图象问题，解决这类问题要注意运用数形结合思想方法，观察图象的变化得出结论．本题是一道中档题．