Question

已知偶函数f（x）=Asin（2x+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是3，最小值为-1
（1）求A、b、φ的值；
（2）求函数y=f（x+

π

4

）的单调递增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数为偶函数取特值列式求φ的值，再由函数的最值列方程组求得A，b的值；
（2）把（1）中求得的值代入函数解析式，进一步得到函数y=f（x+

π

4

）的解析式，由复合函数的单调性求
函数y=f（x+

π

4

）的单调递增区间．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=Asin（2x+φ）+b为偶函数，
∴f(-

π

4

)=f(

π

4

)，
即Asin[2×（-

π

4

）+φ]+b=Asin[2×（

π

4

）+φ]+b，
∴sin（-

π

2

+φ）=sin（

π

2

+φ），
即-cosφ=cosφ，∴cosφ=0，∵0＜φ＜π，∴φ=

π

2

．
又函数f（x）=Asin（2x+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是3，最小值为-1，
∴

A+b=3 -A+b=-1

，解得：A=2，b=1．
∴A、b、φ的值分别为：2，1，

π

2

；
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

2

）+1=2cos2x+1．
∴函数y=f（x+

π

4

）=2cos2（x+

π

4

）+1=2cos（2x+

π

2

）+1=-2sin2x+1
由

π

2

+2kπ≤2x≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得

π

4

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z．
∴函数y=f（x+

π

4

）的单调递增区间为[

π

4

+kπ，

3π

4

+kπ]，k∈Z．

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）+b型函数的图象和性质，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．