Question

已知函数f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2．
（1）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若对任意的x∈[

π

4

， 

π

2

]，不等式f（x）＞m-3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知的函数解析式结合f（α）=3求得sinα的值，再根据给出的α的范围求α的值；
（2）由符合函数的单调性求出f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2的增区间，找出[0，π]内的x的范围即可；
（3）求出f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2在x∈[

π

4

， 

π

2

]上的最小值，由m-3小于该最小值得实数m的取值范围．

解答： 解（1）由于函数f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2，
∵f（α）=3，且α∈（0，π），∴2sin(2α+

π

6

)+2=3，解得sin(2α+

π

6

)=

1

2

．
故有2α+

π

6

=2kπ+

π

6

，或2α+

π

6

=2kπ+

5π

6

， k∈z．∴α=

π

3

；
（2）由2kπ-

π

2

≤α+

π

6

≤2kπ+

π

2

， k∈z，可得kπ-

π

3

≤α≤kπ+

π

6

，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

≤α≤kπ+

π

6

]，k∈z．
再由x∈[0，π]，可得函数f（x）的单调递增区间为[0，

π

6

]、[

2π

3

，π]；
（3）对任意的x∈[

π

4

， 

π

2

]，

2π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

，1≤f(x)≤2+

3

．
要使f（x）＞m-3恒成立，只要函数f（x）的最小值大于m-3，故有1＞m-3，m＜4，
故实数m的取值范围为（-∞，4）．

点评：本题考查由函数的值求角，关键是注意角的范围，考查复合函数的单调性和最值，训练了数学转化思想方法，是中档题．