Question

已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．
（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）-tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；
（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（1）函数y=f（x）为奇函数．
当a=0时，f（x）=x|x|+2x，
∴f（-x）=-x|x|-2x=-f（x），
∴函数y=f（x）为奇函数；
（2）f（x）=

x2+(2-2a)x，x≥2a -x2+(2+2a)x，x＜2a

，
当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a-1；
当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；
∴当a-1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，
即-1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；      
（3）方程f（x）-tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．
①当-1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，
∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；                          …（9分）
②当a＞1时，即2a＞a+1＞a-1，
∴f（x）在（-∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，
∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；
即4a＜t•4a＜（a+1）²，
∵a＞1，
∴1＜t＜

1

4

(a+

1

a

+2)．
设h(a)=

1

4

(a+

1

a

+2)，
∵存在a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，
∴1＜t＜h（a）_max，
又可证h(a)=

1

4

(a+

1

a

+2)在（1，2]上单调增
∴＜h（a）_max=

9

8

，
∴1＜t＜

9

8

③当a＜-1时，即2a＜a-1＜a+1，
∴f（x）在（-∞，2a）上单调增，在（2a，a-1）上单调减，在（a-1，+∞）上单调增，
∴当f（a-1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；
即-（a-1）²＜t-4a＜4a，
∵a＜-1，
∴1＜t＜-

1

4

(a+

1

a

-2)，
设g(a)=-

1

4

(a+

1

a

-2)，
∵存在a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，
∴1＜t＜g（a）_max，
又可证g(a)=-

1

4

(a+

1

a

-2)在[-2，-1）上单调减，
∴g（a）_max=

9

8

，
∴1＜t＜

9

8

；                                   
综上：1＜t＜

9

8

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的应用，综合考查分段函数的应用，综合性较强，运算量较大．