Question

5．已知实数a＞0，b＞0
（1）若a+b＞2，求证：$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}{b}$中至少有一个小于2；
（2）若a-b=2，求证：a³+b＞8；
（3）若a²-b²=2，求证：a（3a-2b）≥4$\sqrt{2}$+6．

Answer 1

分析 （1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}{b}$不可能都不小于2，假设$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}{b}$都不小于2，则$\frac{1+b}{a}$≥2，$\frac{1+a}{b}$≥2得出2≥a+b，这与已知a+b＞2相矛盾，故假设不成立，以此来证明结论成立．
（2）利用作差法，即可证明；
（3）利用分析法证明即可．

解答 证明：（1）假设$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}{b}$都不小于2，则$\frac{1+b}{a}$≥2，$\frac{1+a}{b}$≥2
因为a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b）
即2≥a+b，这与已知a+b＞2相矛盾，故假设不成立．
综上，$\frac{1+b}{a}，\frac{1+a}{b}$中至少有一个小于2；
（2）∵a-b=2，∴b=a-2，
∵b＞0，∴a＞2，
∴a³+b-8=a³-8+a-2=（a-2）（a²+2a+5）＞0，
∴a³+b＞8；
（3）要证明：a（3a-2b）≥4$\sqrt{2}$+6，
就是证明：3a²-2ab≥4$\sqrt{2}$+6．
∵a²-b²=2，
就是证明：3b²-4$\sqrt{2}$≥2ab．
就是证明：（3b²-4$\sqrt{2}$）²≥4a²b²．
就是证明：5b⁴-（24$\sqrt{2}$+8）b²+32≥0．
设b²=t，则△=（24$\sqrt{2}$+8）²-640＞0，∴不等式成立，
∴a（3a-2b）≥4$\sqrt{2}$+6．

点评 反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．