Question

19．已知命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{m-2}$+$\frac{{y}^{2}}{m-5}$=1表示双曲线，命题q：x∈（0，+∞），x²-mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且?（p∧q）也是真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{m-2}$+$\frac{{y}^{2}}{m-5}$=1表示双曲线，（m-2）（m-5）＜0，解得m范围．命题q：x∈（0，+∞），x²-mx+4≥0恒成立，则m≤x+$\frac{4}{x}$的最小值，利用基本不等式的性质即可得出．若p∨q是真命题，且?（p∧q）也是真命题，（即（p∧q）是假命题），p与q必然一真一假．进而得出．

解答 解：命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{m-2}$+$\frac{{y}^{2}}{m-5}$=1表示双曲线，（m-2）（m-5）＜0，解得2＜m＜5．
命题q：x∈（0，+∞），x²-mx+4≥0恒成立，则m≤x+$\frac{4}{x}$的最小值，
∵x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当且仅当x=2时取等号．∴m≤4．
若p∨q是真命题，且?（p∧q）也是真命题，（即（p∧q）是假命题），
∴p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2＜m＜5}\\{m＞4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2或m≥5}\\{m≤4}\end{array}\right.$，
解得4＜m＜5，或m≤2．
∴m的取值范围是（-∞，2]∪（4，5）．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、基本不等式的性质、双曲线的标准方程、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．