Question

已知0＜α＜

π

2

，tan

α

2

+cot

α

2

=

5

2

，则sin（α-

π

3

）的值是

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：由同角三角函数基本关系可得sinα和cosα，再由两角和与差的三角函数公式可得．

解答： 解：∵tan

α

2

+cot

α

2

=

5

2

，
∴

sin α 2

cos α 2

+

cos α 2

sin α 2

=

5

2

，
∴

sin2 α 2 +cos2 α 2

cos α 2 sin α 2

=

1

cos α 2 sin α 2

=

5

2

，
∴sinα=2sin

α

2

cos

α

2

=

4

5

，
又0＜α＜

π

2

，∴cosα=

1-sin2α

=

3

5

，
∴sin（α-

π

3

）=

1

2

sinα-

3

2

cosα=

1

2

×

4

5

-

3

2

×

3

5

=

4-3 3

10

．
故答案为：

4-3 3

10

点评：本题考查三角函数的化简，涉及二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，属基础题．