Question

13．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π．
（Ⅰ）求cosθ；
（Ⅱ）求函数f（x）=6cosxcos（x-θ）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵3sinθtanθ=3$\frac{{sin}^{2}θ}{cosθ}$=8，且0＜θ＜π，∴cosθ＞0，θ为锐角．
∴$\frac{3-{3cos}^{2}θ}{cosθ}$=8，求得cosθ=$\frac{1}{3}$，或cosθ=-3（舍去），∴sinθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
综上可得，cosθ=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）函数f（x）=6cosxcos（x-θ）=6cosx•（cosx•$\frac{1}{3}$+sinx•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）
=2cos²x+4$\sqrt{2}$sinxcosx=cos2x+1+2$\sqrt{2}$sin2x=3（$\frac{1}{3}$cos2x+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sin2x）+1
=3cos（2x-θ）+1，
在[0，$\frac{π}{4}$]上，2x-θ∈[-θ，$\frac{π}{2}$-θ]，f（x）在此区间上先增后减，
当2x-θ=0时，函数f（x）取得最大值为4，当2x-θ=-θ时，函数f（x）取得最小值为3cos（-θ）+1=3cosθ+1，
故函数在[2，$\frac{π}{4}$]上的值域为[2，4]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．