Question

5．已知抛物线G：y²=2px（p＞0），过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．
（1）当直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$时，|AB|=16．求抛物线G的方程；
（2）对于（1）问中的抛物线G，若点N（3，0），求证：|AB|-2|MN|为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点坐标，设直线l的方程为$x=ty+\frac{p}{2}（t∈R）$，代入抛物线的方程，设$A（\frac{y_1^2}{2p}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{2p}，{y_2}）$，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得p，进而得到所求方程；
（2）运用中点坐标公式，求得M的坐标，由两点的距离公式，可得|MN|，进而得到|AB|-2|MN|为定值．

解答 解：（1）抛物线G：y²=2px（p＞0），知$F（\frac{p}{2}，0）$，
设直线l的方程为$x=ty+\frac{p}{2}（t∈R）$，$A（\frac{y_1^2}{2p}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{2p}，{y_2}）$，
由 $\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}}\right.$得：y²-2pty-p²=0，
△=4p²t²+4p²＞0，显然成立．
可得${y_1}+{y_2}=2pt，{y_1}{y_2}=-{p^2}$，
（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=4p²t²+4p²，
（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$）²=$\frac{1}{4{p}^{2}}$（y₁-y₂）²•（y₁+y₂）²=t²（4p²t²+4p²），
可得$|AB|=\sqrt{{{（\frac{y_1^2}{2p}-\frac{y_2^2}{2p}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=2p（{t^2}+1）$．
当直线l倾斜角为$\frac{π}{4}$时，t=1，
|AB|=4p=16，得p=4，
所以抛物线G的方程为y²=8x．
（2）证明：由（1）知|AB|=8（t²+1），M为线段AB的中点，
且y₁+y₂=8t，
可得${x_M}=\frac{t}{2}（{y_1}+{y_2}）+2=4{t^2}+2$，y_M=4t，即M（4t²+2，4t），
又N（3，0），
若满足题意$2|MN|=2\sqrt{{{（{4{t^2}+2-3}）}^2}+16{t^2}}=8{t^2}+2$，
此时|AB|-2|MN|=8（t²+1）-8t²-2=6．
综上|AB|-2|MN|为定值6．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查中点坐标公式，以及化简整理的运算能力，属于中档题．