Question

2．当x≠1且x≠0时，数列{nx^n-1}的前n项和S_n=1+2x+3x²+…nx^n-1（n∈N^*）可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x+x²+x³+…+xⁿ（n∈N^*）按等比数列的求和公式，先求得x+x²+x³+…+xⁿ=$\frac{x-{x}^{n+1}}{1-x}$，两边都是关于x的函数，两边同时求导，（x+x²+x³+…+xⁿ）′=（$\frac{x-{x}^{n+1}}{1-x}$）′，从而得到：S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1=$\frac{1-（n+1）{x}^{n}+n{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}$，按照同样的方法，请从二项展开式（1+x）ⁿ=1+${C}_{n}^{1}$x+C${\;}_{n}^{2}$x²+…+C${\;}_{n}^{n}$xⁿ出发，可以求得，S_n=1×2×C${\;}_{n}^{1}$+2×3×C${\;}_{n}^{2}$+3×4×C${\;}_{n}^{3}$+…+n×（n+1）×C${\;}_{n}^{n}$（n≥4）的和为n（n+3）2^n-2（请填写最简结果）

Answer 1

分析 根据类比推理的思想，由二项式的展开式的两边同乘以x，再分别求两次导，再令x=1时，即可求出答案．

解答 解：∵（1+x）ⁿ=1+${C}_{n}^{1}$x+C${\;}_{n}^{2}$x²+…+C${\;}_{n}^{n}$xⁿ，
∴x（1+x）ⁿ=x+${C}_{n}^{1}$x²+C${\;}_{n}^{2}$x³+…+C${\;}_{n}^{n}$xⁿ⁺¹，
两边求导可得（1+x）ⁿ+nx（1+x）^n-1=1+2${C}_{n}^{1}$x+3C${\;}_{n}^{2}$x²+4C_n³x³+…+（n+1）C${\;}_{n}^{n}$xⁿ，
两边继续求导可得n（1+x）^n-1+n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2
=1×2${C}_{n}^{1}$+2×3C${\;}_{n}^{2}$x+3×4C_n³x²+…+n（n+1）C${\;}_{n}^{n}$x^n-1，
令x=1，可得n•2^n-1+n•2^n-1+n（n-1）2^n-2=1×2${C}_{n}^{1}$+2×3C${\;}_{n}^{2}$+3×4C_n³+…+n（n+1）C${\;}_{n}^{n}$=S_n，
∴S_n=n（n+3）2^n-2．
故答案为：n（n+3）2^n-2．

点评 本题考查了类比推理的问题，掌握求导的法则，关键是两边同乘以x，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题