Question

数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项的和S_n满足S_n²=a_n•（S_n-

1

2

）
（Ⅰ）求证{

1

Sn

}为等差数列，并求出S_n的表达式；
（Ⅱ）设b_n=

2n

Sn

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2），化简已知等式得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，从而数列{

1

Sn

}构成公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式加以计算，即可得到S_n的表达式；
（2）由（1）的结论，得到bn=(2n-1)•2n，因此利用错位相减法并结合等比数列的求和公式，化简整理后可得T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

解答： 解　（1）∵S_n²=a_n•（S_n-

1

2

），a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，
即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，…①
由题意S_n-1•S_n≠0，
将①式两边同除以S_n-1•S_n，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴数列{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=

1

a1

=1，公差为2的等差数列．
可得

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，得S_n=

1

2n-1

．
（2）由（1）得

1

Sn

=2n-1，
∴bn=

2n

Sn

=(2n-1)•2n，
因此，Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，
两边都乘以2，得 2Tn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1，
两式相减，得：
-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+6-2•2ⁿ⁺¹
化简得T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题给出数列的前n项和与第n项之间的关系式，求数列的前n项和表达式，并依此求另一个数列的前n项和．着重考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了利用错位相减法求等差、等比数列对应项的积构成数列的前n项和的知识，属于中档题．