Question

已知数列{a_n}的首项为a（a≠0），前n项和为S_n，且有S_n+1=tS_n+a（t≠0），b_n=S_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当t=1时，若对任意n∈N^*，都有|b_n|≥|b₅|，求a的取值范围；
（3）当t≠1时，若c_n=2+

n

i=1

bi，求能够使数列{c_n}为等比数列的所有数对（a，t）．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由数列递推式求得首项，得到a_n+1=a_nt，由此说明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）当t=1时，S_n=na，b_n=na+1，b_n+1-b_n=a，得到{b_n}为等差数列．当a＞0时，{b_n}为单调递增数列，且对任意n∈N^*，a_n＞0恒成立，不合题意．当a＜0时，{b_n}为单调递减数列，由题意知得b₄＞0，b₆＜0，结合|b_n|≥|b₅|去绝对值后求解a的取值范围；
（3）求出数列{a_n}的前n项和S_n，代入b_n=S_n+1求得b_n，进一步代入c_n=2+

n

i=1

bi，由等比数列通项的特点列式求得a，t的值．

解答： 解：（1）当n=1时，由S₂=tS₁+a，解得a₂=at，
当n≥2时，S_n=tS_n-1+a，
∴S_n+1-S_n=t（S_n-S_n-1），即a_n+1=a_nt，
又∵a₁=a≠0，
综上有

an+1

an

=t(n∈N*)，
∴{a_n}是首项为a，公比为t的等比数列，
∴an=atn-1；
（2）当t=1时，S_n=na，b_n=na+1，b_n+1-b_n=a，此时{b_n}为等差数列；
当a＞0时，{b_n}为单调递增数列，且对任意n∈N^*，a_n＞0恒成立，不合题意；
当a＜0时，{b_n}为单调递减数列，由题意知得b₄＞0，b₆＜0，且有

b4≥|b5| -b6≥|b5|

，解得-

2

9

≤a≤-

2

11

．
综上a的取值范围是[-

2

9

，-

2

11

]；
（3）∵t≠1，bn=1+

a

1-t

-

atn

1-t

，
∴cn=2+(1+

a

1-t

)n-

a

1-t

(t+t2+…+tn)
=2+(1+

a

1-t

)n-

a(t-tn+1)

(1-t)2

=2-

at

(1-t)2

+

1-t+a

1-t

n+

atn+1

(1-t)2

，
由题设知{c_n}为等比数列，
∴有

2- at (1-t)2 =0 1-t+a 1-t =0

，解得

a=1 t=2

，
即满足条件的数对是（1，2）．

点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了学生的计算能力，是中档题．