Question

17．已知函数$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$．
（Ⅰ）分别求$f（2）+f（\frac{1}{2}）$，$f（3）+f（\frac{1}{3}）$，$f（4）+f（\frac{1}{4}）$，的值；
（Ⅱ）归纳猜想一般性结论，并给出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，能分别求出$f（2）+f（\frac{1}{2}）$，$f（3）+f（\frac{1}{3}）$，$f（4）+f（\frac{1}{4}）$，的值．
（Ⅱ）猜想：$f（n）+f（\frac{1}{n}）=1$，利用函数性质进行证明．

解答 解：（Ⅰ）∵函数$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$．
∴$f（2）+f（\frac{1}{2}）=1$，$f（3）+f（\frac{1}{3}）=1$，$f（4）+f（\frac{1}{4}）=1$．…（3分）
（Ⅱ）猜想：$f（n）+f（\frac{1}{n}）=1$，…（6分）
证明：∵$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，∴$f（\frac{1}{x}）=\frac{{{{（\frac{1}{x}）}^2}}}{{1+{{（\frac{1}{x}）}^2}}}=\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
∴$f（x）+f（\frac{1}{x}）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}+\frac{1}{{1+{x^2}}}=1$．
∴$f（n）+f（\frac{1}{n}）=1$．…（12分）

点评 本题考查函数值的求法及证明，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．