Question

5．观察下列各式：$\root{3}{2+\frac{2}{7}}$=2•$\root{3}{\frac{2}{7}}$，$\root{3}{3+\frac{3}{26}}$=3$•\root{3}{\frac{3}{26}}$，$\root{3}{4+\frac{4}{63}}$=4•$\root{3}{\frac{4}{63}}$，…，若$\root{3}{9+\frac{9}{m}}$=9•$\root{3}{\frac{9}{m}}$，则m=（　　）

• A． 80
• B． 81
• C． 728
• D． 729

Answer 1

分析 观察每个等式可以发现每个被开方数的分数部分的分母是分子的立方减去1所得，从而可求m．

解答 解：：$\root{3}{2+\frac{2}{7}}$=2•$\root{3}{\frac{2}{7}}$=2•$\root{3}{\frac{2}{{2}^{3}-1}}$，
$\root{3}{3+\frac{3}{26}}$=3$•\root{3}{\frac{3}{26}}=3•\root{3}{\frac{3}{{3}^{3}-1}}$，
，$\root{3}{4+\frac{4}{63}}$=4•$\root{3}{\frac{4}{63}}$=4$•\root{3}{\frac{4}{{4}^{3}-1}}$，
…，
所以$\root{3}{n+\frac{n}{{n}^{3}-1}}=n•\root{3}{\frac{n}{{n}^{3}-1}}$，
所以$\root{3}{9+\frac{9}{m}}$=9•$\root{3}{\frac{9}{m}}$=9$•\root{3}{\frac{9}{{9}^{3}-1}}$，
所以m=9³-1=729-1=728；
故选C．

点评 本题考查了归纳推理，关键是由具体的前几个发现与序号的关系，总结出规律，猜想一般结论．