Question

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）

• A、y=sinx
• B、y=2^x
• C、y=x³-x
• D、y=lg（x+

  1+x2

  ）

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据正弦函数，指数函数，奇偶性及单调性，以及通过导数判断函数单调性的方法容易找到正确选项．

解答： 解：A．y=sinx在其定义域内不具有单调性；
B．y=2^x不是奇函数；
C．y=x³-x，y′=3x²-1，不能得出y′＞0，所以该函数在其定义域内不具有单调性；
D．y=lg(x+

1+x2

)，容易求出该函数定义域为R，令y=f（x），则f（-x）=lg(-x+

1+x2

)=lg

1

x+ 1+x2

=-lg(x+

1+x2

)=-f(x)；
∴该函数在其定义域R内是奇函数；
y′=

1

1+x2 ln10

＞0，∴该函数在其定义域内是增函数．
故选D．

点评：考查正弦函数的奇偶性，单调性，奇偶性的定义，利用导数判断函数的单调性．